Auch mit Google und Wikipedia Suche habe ich diese Sache nicht eindeutig klären können:

Wenn ich Homebanking von meinem PC betreibe kommuniziere ich ja mit dem Bankserver mit TCP/IP - HBCI Protokoll über Internet. Wenn ich mit dem WEB Page von der Bank arbeite muss es doch genau so sein, nur dass in diesem Fall entsprechende Software auf der WEB Server wo der WEB Page von der Bank gehosted ist läuft. Oder ist die Verbindung zwischen WEB Server und Bank Server irgendwie anders eingerichtet? Gibt es wirklich zwei Arten von Freischaltung von einem Bankkonto?

Ja, die Freischaltung seitens der Bank hat nichts mit dem Kommunikationsweg sondern mit der Schnittstelle zu tun. Manche Banken haben über das Webbanking eine andere Schnittstelle im Hintergrund als über den FinTS Bankrechner. Daher können Freischaltungen unterschiedlich sein.
Ob das bei dir so ist können wir dir sagen, wenn wir erfahren, von welcher Bank du sprichst.

Norisbank, BLZ 76026000

In der Fall von Norisbank

fints.norisbank.de 129.35.230.78 (HBCI Server)
meine.norisbank.de 129.35.230.3 (WEB-Page)

Static IP of

IBM Corporation
Durham
North Carolina

Kurze Verbindung! Ist wohl der selbe Computer

Und jede Kontobewegung wirt kritisch von NSA begutachtet!

Mit unterschiedlichen IP-Adressen ist es eher unwahrscheinlich, daß die beiden Server auf dem gleichen System laufen.
Auch wenn die Adresse IBM gehört (und damit bei der vereinfachten Abfrage nur die Adresse des "Owners" in USA angezeigt wird) laufen die System hier sehr wahrscheinlich bei "Ibm E-business Hosting Delivery, Warwick, UK".