Also ich habe die gleiche Konstellation und das Problem nicht.
Es schaut so aus, als ob Du beim Umschalten die DKB-App komplett schließt und dann komplett neu öffnest. Sobald die push-TAN kommt, gibt es doch eine pushMitteilung - auf die kann man tippen (ggf. den Benachrichtigungsbereich runterziehen), damit verzweigt man direkt in die pushTAN-App um diese zu öffnen. Dort wird die TAN angezeigt und wenn ich mich recht erinnere unten sogar ein Button "In die DKB-App übernehmen" oder so ähnlich angezeigt. Damit wird die TAN automatisch in die DKB-App eingefügt, ohne dass diese beendet gewesen ist - so fordert sie auch keine neue TAN beim Start an, weil es keinen neuen Start gibt... Und wenn man von Hand hin- und herswitcht, sollte man das nicht machen, indem man auf die Oberfläche geht und dann mit dem App-Icon die App neu startet, sondern indem man in den Taskswitcher geht und die dort angezeigte laufende App wieder in den Vordergrund holt.